RASYONEL SAYILAR

Konu: RASYONEL SAYILAR Paz Mayıs 18, 2008 5:05 pm

RASYONEL SAYILAR

Mısırlılarda
Kesirler• Mısırlılar kesirleri paydaları 1 olacak şekilde
sınırlandırmışlardır.• Herhangi bir pozitif rasyonel sayı; pozitif tam
sayıların çarpmaya göre terslerinin toplamı şeklinde ifade edilebilir.
1 2 Yukarıdaki örnekler gibi herhangi bir rasyonel sayının sınırsızca
bir çok temsili vardır. Bu ifadeler Eski Mısırlılar tarafından
kullanıldığı için, Mısır Kesirleri olarak adlandırılır. Bu
hiyeroglifler ağızdan çıkan bir harfe (R) çevrilmiş ve kullanılmıştır.
Bu yüzden yukarıdaki kesir şeklinde ifade edilmiştir.Kesirler Ve
RomalılarRomalılar subunitlerin yerine kesirleri kullanmaktan
kaçınmışlardır. Ayakları zerrelere (yani ayak hesabını, parmak hesabına
) Pound’ ları da Ounc’ lara bölmüşlerdir. 1 Pound = 454 gram, 1 Ounc=
28,3 gram 1 Pound = 16 Ouncve Romalıların 1 parçasının adı Uncia’dır.
Bu da 340 gcrama tekabül eder. Rasyonel Sayılar ve YunanlılarYunanlılar
Rasyonel sayıları gerçekten çok seviyorlardı. Abartısız olarak
Yunanlıların Rasyonel Sayılara taptığı söyleniyor. Pisagor tarafından
bulunan klişe şu idi. Dünya güzeldi çünkü onun yapısı ve işleyişi tam
sayıların oranı olarak, matematiksel olarak ifade ediliyordu. Geometrik
ifadelerin her zaman rasyonel sayılar biçimde ifade edilmesi,
Pisagor’un mantığının temel ilkelerinden biriydi. Kenar uzunluğu bir
olan karenin köşegenin bir rasyonel sayı olmadığı anlaşıldıktan sonra
bu klişenin güvenirliği azaldı. 1 1 1 1Yunanlılar bu bilgiyi sır olarak
saklamaya çalıştılar. Çünkü bu onları utandırıyordu. Bütün uzunluklar
Rasyonel sayılarla ifade edilemiyordu. Rasyonel sayılar oranları ve
paylaşımları ölçmede yeterli olmasına rağmen uzunlukları ifade de
yetersizdi. Bu amaç için yeni bir sayı sistemi kurmak gerekliydi.
İkinin karekökü bu sayı sistemine bir örnektir. İkinin karekökü
Yunanlılar tarafından bulunan bir sayı değildi.TARİHSEL
NOTLARKesirArapçada kesir anlamına gelen “al-kasr” kelimesi Latince’
deki kırmak anlamına gelen “fractus” kelimesinden türetilmiştir.
İngilizce’ deki kesir kelimesi 1321 yılında ilk kez Chavcer tarafından
kullanılmıştır.“ Kesir çizgisi payın üste, paydanın alta yazıldığı ufak
bir çizgidir.” der.Bölme Sembolü ( )Bölme sembolü; John Wallis
(1616-1703) yılında adapte edilmiş , İngiltere’ de ve Amerika’ da
kullanılmıştır. (fakat Avrupa’ da (iki nokta üst üste kullanılıyordu.)
1923 yılında, Matematik Komitesi açıkladı ki: ne : ne de  işaretleri
tam olarak kullanılıyor veya kullanılmıyor.Bölüm (-) işaretinin iş
hayatında çok önemli bir anlamı olmadığına göre bunu matematiğe
(kesirli ifadelere ) adapte edelim ve noktaların arasında “/ ” ‘ u
kullanalım. Bundan sonra  işareti matematiksel bir ifade haline
dönüştü.RASYONEL SAYILARTarihsel olarak, bölme işlemi için gerekli olan
kapanma kümesi, çıkarma işlemi için de gerekli plan kapanma kümesi
ihtiyacından önce gelmektedir. k için bir ayı bulamaya ihtiyacımız
vardır. Bu yüzden; 1 2 = k Mısırlılar kesirleri paydası 1 olacak
şekilde sınırlandırmışlardır.Romalılar subunitlerin yerine kesirleri
kullanmaktan kaçınmışlardır.Ayakları zerrelere (baş parmak) ve
libreleri de ounclara bölmüşlerdir. (pound: 454 - ounc: 28,3) ve
Romalıların biriminin 12. parçası uncle olarak adlandırılır. Buna
rağmen, insanlar hesaplamalarda daha pratik bir kesinlik sağlamaya
ihtiyaç duymuşlar ve bölme işlemindeki teoriksel kapanma
gereksinmiştir. Z kümesindeki tam sayılarda, bazı bölme işlemleri
olanaklıdır. Buna rağmen, bazıları değilidir. Rasyonel sayılarBir
rasyonel sayı; iki tam sayının kendi aralarında oranı gibi ifade
edilebilen gerçek bir sayıdır. Genellikle a / b şeklinde yazılır ve
payda (b) sıfıra eşit değildir.Rasyonel ayılar genellikle kesirler
olarak adlandırılır. Kesirlerin ondalık basamağında olan 0-9 arasındaki
genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir. Bütün rasyonel sayılar kümesi
Q ile gösterilir. Genellikle büyük ve kalın simgeyle gösterilir.
Rasyonel olmayan gerçek sayılar irrasyonel olarak adlandırılır.Rasyonel
Sayıların İnşasıMatematiksel olarak; tam sayı çiftlerinin düzenli
olarak tanımlandığı sayılar sıfıra eşit değildir. Bu çiftleri toplama
ve çıkarma altında takip eden şu kurallara göre tanımlayabiliriz.1.
(a,b) + (c,d) = (a x d + b x c , b x d )(a,b) x (c,d) = (a x c, b x
d)Bizim beklentimize uygun 2/4 = 1/2 eşitliğini denklik ilişkisi olarak
tanımlayabiliriz. (a, b)  (c,d)  a x d = b x cbu denklik ilişkisi
toplama ve çarpma üzerinde uyumlu olarak tanımlanır. Q’ u bölüm kümesi
olarak tanımlayabiliriz. Denklik İlişkisi(a,b) ve (c,d) iki kesir
olsun. Eğer ad = bc ise (c,d) kesrine denktir denir.(a,b)  (c,d)
biçiminde gösterilir. (a,b)  (c,d)  ad = bcörnek (1,2) ve (3,6)
elemanlarından her ikisi de kesirdir. 1.6 = 2.3 olduğundan (1,2) kesri
(3,6) kesrine denktir. Denklik Sınıfı(a.b) kesrinin elemanına denk olan
elemanlarının kümesi yani (a,b)’ nin denklik sınıfı ( ) ile gösterilir.
Örnek: ( ) = {....., (-2,-4).(-1,-2),(1,2),(2,4).......} = {(x,2x): x 
Z ve x  0}’ dır.Rasyonel Sayılar Ve Kesirlera , b  Z ve şeklinde (b 
0) ifade edilen sayılar kesirler olarak adlandırılır. b burada bütünü
temsil ediyor a ise parçayı temsil ediyor.Rasyonel Sayıa , b  Z ve
şeklinde (b  0) ve a , b aralarında asal olmalıdır. Bu şekildeki
sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından
oluşmuştur. biçimdeki en sade şekli bu denklik bağıntısını temsil eder.
Mesela ; ( ) = {........., ,......... }Denklik sınıfında bulunan bütün
elemanlar kesirdir. temsili kesir ve bu denklik sınıfını temsil ettiği
için rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar denklik sınıflarından
oluşmuştur.Önemli Notlar  verilmiş ve c  0 ‘ dır. Görüyoruz ki biz b
 0 ya da d  0 diye bir açıklama kullanmıyoruz. Çünkü kesirli olmanın
şartı paydanın sıfıra eşit olmamasıdır.Rasyonel sayılar genellikle
kesirler olarak adlandırılır. kesirlerin ondalık basamağında bulunan
sayıların genişlemeleri sınırlı ya da periyodiktir. = 1,66666....,
=0,142857142, = 0,5Sonuç OlarakRasyonel sayılar düzenli olarak yoğun
bir kümedir. Herhangi iki rasyonel sayı arasında diğer bir rasyonel
sayı vardır. Aslında sayılamaz çoklukta rasyonel sayı vardır.Rasyonel
sayılar bölgesel sıklığın olmadığı alanın bir örneğidir
Bu
alan tamamen bağlantısızdır. Rasyonel sayılar tamamlanıyor ve Reel
sayılar da rasyonel sayıların tamamlayıcısıdır. Rasyonel olmayan Reel
sayılara İrrasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar Reel sayıların alt
kümesidir.

RASYONEL SAYILAR

A. TANIM
a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir.

*
B. KESİR ÇEŞİTLERİ
1. Basit Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.
*

*

*
2. Bileşik Kesir
İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.
*

*

*
3. Tam Sayılı Kesir
Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.
*
birer tam sayılı kesirdir.
*
*
Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.
*

*
*
C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme
k ¹ 0 olmak üzere,

*
2. Toplama - Çıkarma
Toplama
ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya
da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır)
ortak payda alınır.

*
3. Çarpma - Bölme

*
4. İşlem Önceliği
Toplama,
çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte
bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.
1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.
2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.
3) Çarpma - bölme yapılır.
4) Toplama - çıkarma yapılır.
*

Toplama
ile çıkarma ve çarpma ile bölme kendi arasında öncelik taşımaz.
Özellikle çarpma ile bölmede öncelik söz konusu ise bu, parantezle
belirlenir.
*
*
D. ONDALIK KESİR
1. Ondalık Kesir
Bir
rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının
ondalık açılımını buluruz. Bu ondalık açılıma ondalık kesir denir.
*

*
Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.
*
*
2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir
Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesir denir.
Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.

*
3. Ondalık Sayılarda İşlemler
a.
Toplama - Çıkarma:* Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta
gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama - çıkarma işleminde
olduğu gibi toplama - çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin
hizasından virgülle ayrılır.
b. Çarpma:* Ondalık kesirlerin çarpımı
yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan
sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan
sola doğru virgülle ayrılır.
c. Bölme:* Ondalık kesirlerin bölme
işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile
çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme
işlemi yapılır.
*
4. Devirli Ondalıklı Sayının Rasyonel* Sayıya Dönüştürülmesi

*

Devreden 9 ise bir önceki rakam 1 artırılır.

*
E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

I. Yol:
Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

II. Yol:
Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

III. Yol:
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.
*
Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.
Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.
*
F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR
arasında sayılamıyacak çoklukta rasyonel sayı vardır.

Bunlardan
bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin
paydaları bulunan OKEK inde eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak
için kesirler genişletilebilir.

Ü* kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

****